물고기의 아가미, 사람의 혈관, 폐와 장의 내부의 공통점은 부피에 비해 표면적이 넓은 것이다. 잔주름, 모세혈관, 허파꽈리 등을 가진 구조여서 그렇다. 사람 피부의 총 표면적은 약 2㎡이다. 반면 폐의 표면적은 약 80㎡이고, 소화관의 표면적은 무려 약 400㎡라고 한다. 또 사람 혈관의 길이는 약 10만㎞에 이른다고 한다. 이같이 주어진 부피에 비해 엄청난 길이나 면적을 가지는 것을 수학적으로 설명할 수 있는 방법이 바로 프랙탈의 원리다.
앞에 예를 든 몸의 일부는 작은 구조가 전체 구조와 비슷한 형태로 끝없이 되풀이되는데 이러한 구조가 프랙탈이다. 프랙탈의 예는 창문에 성에가 자라는 모습, 반복되는 산맥의 모습, 동물의 순환계·소화관·신경계, 나뭇가지의 모양, 리아스식 해안선 등 일상생활에서 쉽게 발견된다.
이 원리가 수학에 적용된 것이 '프랙탈 도형'이다. <그림1>을 보자. 각 프랙탈 도형을 단계적으로 무한 반복하면 코흐눈송이는 넓이가 늘어나고, 시어핀스키삼각형은 넓이가 0에 가까워진다. 하지만 둘 다 도형의 둘레는 무한대로 늘어난다. 시어핀스키피라미드는 단계를 반복하면 부피는 0에 가까워지고 겉넓이는 처음 모양(0단계)과 같게 유지된다. 반면 밍거스폰지는 부피는 0에 가까워지지만 겉넓이는 무한히 늘어난다. 밍거스폰지와 같은 프랙탈의 원리가 제한된 부피 안에 넓은 표면적을 확보해야 하는 신체 기관에 적용돼 있는 것이다.
이제 초등학교 4학년 문제를 통해 프랙탈 도형에 대해 알아보기로 하자. <그림2>는 가위로 자른 4장의 색종이다. 각각의 둘레를 직관적으로 비교해 "①, ③의 둘레는 같고 ②, ④는 이보다 길다"고 대답한다면 프랙탈 도형을 제대로 이해했다고 할 수 있다. ②처럼 네모난 색종이에 오목한 곳이 생기게 자르거나, ④처럼 색종이 내부를 잘라내면 넓이는 작아지지만 둘레는 늘어난다. 안쪽으로 파고드는 부분이 없는 ③은 넓이는 줄지만 둘레는 ①과 같다.
사람의 폐가 부피에 비해 면적이 매우 넓은 이유를 설명할 때 프랙탈이라는 말을 몰라도 색종이의 안쪽을 잘라내 넓이는 줄지만 둘레가 늘어나는 것과 비교해 설명할 수 있어야 한다. 이같이 스토리텔링 수학은 개념의 암기가 아니라 개념의 응용에 더 무게를 둔다.
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